Satz des Pythagoras

Der wahrscheinlich bekannteste Lehrsatz der Geometrie bzw. Mathematik dürfte der Satz des Pythagoras sein:

In einem rechtwinkligen Dreieck ist die Summe der Katheten-Quadrate gleich dem Quadrat der Hypotenuse.

Den meisten Menschen hierzulande ist der Satz des Pythagoras in der Form der Gleichung a² + b² = c² geläufig, in dieser Form lässt er sich am leichtesten merken.

Rechtwinkliges Dreieck nach Pythagoras

Eine Lösung für den Satz bzw. Anwendung der Pythagoras Formel wäre z.B.: 3² + 4² = 5². Es handelt sich hierbei um eine ganz besondere Lösung, weil alle Zahlen ganzzahlig sind. Es gibt übrigens unendlich viele solcher ganzzahligen Lösungen des Satzes des Pythagoras (5² + 12² = 13², 6² + 8² = 10², 7² + 24² = 25²), die man auch als Pythagoräische Zahlentripel bezeichnet.

Quelle: Wikipedia In einem rechtwinkligen Dreieck ist die Summe der Flächen der Kathetenquadrate gleich der Fläche des Hypotenusenquadrates

Beweis des Satzes von Pythagoras


Beweise für diesen Satz gibt es wie Sand am Meer, aber nicht jeder Schüler wird jeden dieser Beweise gleich gut verstehen können. Und nicht jeder Beweis/Rechenweg ist geeignet, den Sachverhalt leicht und verständlich herüber zu bringen. Mir ist damals im Studium ein Buch in die Hand gefallen, dass sich ausschließlich mit Beweisen des Satzes von Pythagoras befasst hat. Hundert Stück waren es an der Zahl. So viel müssen es nicht sein, die folgenden 10 Pythagoras Beweise (PDF) (Adrian Christen/Selbstständige Arbeit im Rahmen der Vorlesung: Mathematik für die Sekundarstufe) sollten fürs erste schon einen guten Überblick gewähren.

Einer der am leichtesten verständlichen Beweise ist m.E. der Ergänzungsbeweis für den Satz des Pythagoras. Hierbei wird die Fläche des Hypotenusen-Quadrates passend in zwei kleinere Quadrate und vier rechtwinkelige Dreiecke zerlegt. Und dazu passend hier auch noch eine musikalische Variante inklusive eines entsprechenden Beweises. Viel Spaß!

Im Video wird auch auf die Gültigkeit der Umkehrung des Satzes von Pythagoras hingewiesen. Falls in einem Dreieck die Formel a² + b² = c² gilt, also die Fläche des Quadrates über der Hypotenuse gleich den Flächen der Quadrate der Katheten entspricht, folgt daraus auch direkt wieder die Rechtwinkligkeit des Dreiecks. Das lehrreiche und zugleich unterhaltsame Mathe Song Video stammt übrigens vom DorFuchs.

Im Schulleben laufen einem der Satz des Phytagoras, Formeln die ihn bedienen und Beweise, die ihn benutzen immer wieder über den Weg. Eingeführt wird der Satz normalerweise in der 8. oder 9. Schulklasse, er taucht aber in vielen Bereichen der Mathematik auch in späteren Schuljahren immer wieder auf.

Die oftmals gestellte Frage, ob man mit dem Satz des Pythagoras auch Flächeninhalte eines Dreiecks berechnen kann, möchte ich für den Allgemeinfall verneinen. Natürlich kann ich bei Feststellung der Rechtwinkligkeit eines Dreiecks auf den Flächeninhalt a·b/2 schließen. Auch könnte man ein nicht rechtwinkliges Dreieck durch Fällen eines Lotes in zwei rechtwinklige Dreiecke zerlegen – und dann mit obigem Argument auf den Flächeninhalt schließen. Nichtsdestotrotz stellt dieser Lehrsatz keine Formel zum Berechnen von Flächeninhalten dar.

Anwendungsfälle für Pythagoras finden sich nicht nur in mathematischen Beweisen, Formeln und Berechnungen, sondern auch im praktischen Leben. Man muss nur hinschauen. Bettermarks liefert einige Beispiele unter Anwendungen zum Satz des Pythagoras.

Weitere Sätze in der Mathematik, die sich um Berechnungen in rechtwinkligen Dreiecken drehen, sind der Kathetensatz des Euklid ( a² = p · c bzw. b² = q · c ) und der Höhensatz des Euklid: h² = p · q. Auch diese Sätze befassen sich nur mit den Verhältnissen der Seitenlängen, Höhen und projezierten Teilstücke.


Pythagoras von Samos Zur Person des Pythagoras von Samos:

Griechischer Philosoph, der so um 570 v. Chr. auf Samos geboren sein soll und ca. 510 v. Chr. in Metapont verstarb. Gründete seinerzeit eine sehr einflussreiche religiös-philosophische Bewegung. Übrigens soll Pythagoras auch der Erste gewesen sein, der glaubte, dass die Erde eine Kugel sei.

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Ein weiterer bekannter mathematischer Satz, der sich ebenfalls um Dreiecke und rechte Winkel dreht, ist der Thalessatz.

Bildquelle: Wikipedia/Pythagoras

5 Gedanken zu „Satz des Pythagoras“

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