Die Eulersche Zahl e

Vielleicht die wichtigste Zahl / Konstante in unserem Leben, nicht nur in der Mathematik, ist die so genannte Eulersche Zahl e = 2,718281828… . Betrachtet man die ersten Stellen von e, so würde man fast vermuten, die Zahl sei periodisch. Aber weit gefehlt, die Mathematiker konnten beweisen, dass es sich bei e nicht um eine rationale Zahl handelt. Das zu Beweisen war alles andere als trivial.

e = 2.7182818284 5904523536 0287471352 6624977572 4709369995 9574966967 6277240766 3035354759 4571382178 5251664274 …

Leonhard Euler gelang im Jahr 1737 das Kunststück, die Irrationalität von e zu beweisen. Die Zahl wird ihm zu Ehren deshalb auch Eulersche Zahl genannt. Aber nicht nur aufgrund seines Beweises hat sich Euler den Ruhm verdient, er war auch der erste Mensch, der die Zahl mit dem Buchstaben e belegt hat. Witziger Weise passt das e sehr gut zu seinem Nachnamen, die Namensgebung hatte aber wahrscheinlich eher mit der Nähe zur Exponentialfunktion zu tun. Dass e auch noch transzendent ist, das war noch eine Stufe schwieriger zu beweisen und gelang erst im Jahr 1873 dem französischen Mathematiker Charles Hermite.

Die Eulersche Zahl stellt auf der einen Seite die Basis des natürlichen Logarithmus ln = loge dar und bildet auf der anderen Seite auch die Basis für die natürliche Exponentialfunktion x -> ex. Die Funktion ex ist dabei ein ganz besonderer Fall einer Exponentialfunktion ax, bei der die Funktionswerte und die jeweiligen Ableitungen miteinander übereinstimmen. Diese Eigenschaft macht die Zahl e und deren zugehörige Exponentialfunktion ex für die Mathematik zu einem ganz speziellen und sympathischen Element, da damit zusammenhängende Integrale und Differentiale deutlich einfacher zu handhaben sind.

Einfache Formeln zur Berechnung der Eulerschen Zahl

Die Mathematik kennt Unmengen an Formeln zum Berechnen der Zahl e. Die eleganteste und natürlichste Formel dürfte die folgende, von Leonhard Euler entdeckte unendliche Reihe sein:
Eulersche Zahl e als unendliche Reihe

Eine ebenfalls sich relativ natürlich entwickelnde Formel basiert auf dem Grenzwert einer ins Unendliche fortgeführten Zinseszins Berechnung:
Eulersche Zahl als Grenzwert

Ähnlich wie bei der Zahl Pi gibt es auch einen Wettbewerb rund um das Memorieren der Stellen von e. Mit 10.000 Nachkommastellen stellte der Inder Akshat Khandal im Jahre 2018 den Weltrekord im Auswendig Aufsagen der Ziffern von e auf.