Euler-Formel / Eulersche Identität

Im Jahre 1748 bewies Leonhard Euler im Rahmen seines Werkes Introductio in analysin infinitorum die sogenannte Eulersche Identität. Für reelle Zahlen x gilt folgende Gleichung:

Euler-Formel

Eulers Formel verbindet im Komplexen Zahlenraum die natürliche Exponentialfunktion ex mit den trigonometrischen Funktionen sin(x) und cos(x). Das ist erst einmal ziemlich verblüffend und alles andere als trivial. Erkennbar wird der Zusammenhang aber ganz gut mit Hilfe der Taylerreihen-Entwicklung der jeweiligen Funktionen.

e hoch i x

Die Potenzreihen von Cosinus(i*x) und Sinus(i*x) ähneln stark der von ei x.
cosinus (i*x)sinus (i*x)
Wer genau hinsieht und i2 = -1 berücksichtigt, der wird erkennen, dass sich die Komponenten der Sinus und Cosinus Reihe genau zu den Komponenten der E-Funktionsreihe aufaddieren lassen. Die Herleitung über die Potenzreihen bildet auch die Grundlage für den Beweis der Euler Formel.

Ein Spezialfall der Eulerschen Formel bzw. Identität ist der Fall x=π. Wenn wir die Kreiszahl pi in die Eulersche Gleichung einsetzen so erhalten wir

ei*π = -1

Wenn das nicht mal wirklich verblüffend ist …

Ist das nicht schön? Noch schöner wird es nach einer leichten Umformung: eπi + 1 = 0. Diese Anwendung der Euler-Formel vereint fünf der wichtigsten Zahlen der Mathematik in einer Formel. Oftmals wird auch bei dieser besonderen Gleichung von der Eulerschen Identität gesprochen.