PQ-Formel – Nullstellen Quadratischer Gleichungen berechnen

Es gibt verschiedene Methoden, eine quadratische Gleichung zu lösen bzw. die Nullstellen einer quadratischen Gleichung zu berechnen. Sei es die Mitternachtsformel, der Satz von Vieta oder die an ein Ratespiel erinnernde Linearfaktor-Zerlegung. Doch die wohl populärste Lösungsmethode dürfte die Berechnung mit Hilfe der pq-Formel sein.

Im Wesentlichen besitzt eine quadratische Gleichung die folgende Form bzw. kann in solch eine allgemeine quadratische Gleichung umgeformt werden: ax2 + bx + c = 0. Die reellen Zahlen a, b und c sind beliebige Koeffizienten, wobei a nicht 0 sein darf, weil ansonsten das Quadratische Element verloren gehen würde. Unter diesen Voraussetzungen kann die obige quadratische Gleichung von der allgemeinen Form in die klassische Normalform x2 + px + q = 0 überführt werden.

Lösung mit Hilfe der pq-Formel

Für diese vereinfachte Form einer quadratischen Gleichung gibt es jetzt eine relativ einfache Lösungsformel – die sogenannte pq-Formel:

Durch Einsetzen von p und q in die Formel erhält man i.A. zwei verschiedene Lösungen.

Je nach dem Wert des Wurzel-Terms sind aber auch nur eine oder auch gar keine Lösung möglich. Das Innere des Wurzel-Terms wird deshalb (bezeichnender Weise) Diskriminante genannt.

Quadratische Gleichungen

Eine Diskriminante größer als Null bedeutet, es existieren zwei unterschiedliche Lösungen in den reellen Zahlen (Kurve A). Sollte die Diskriminante gleich Null sein, liefert die pq-Formel mit -p/2 nur eine Lösung (Kurve B). Man spricht in diesem Fall auch gerne von einer doppelten Nullstelle. Sollte die Diskriminante gar einen negativen Wert annehmen, dann sind wir in den reellen Zahlen leider am Ende, da das Radizieren (Wurzelziehen) nur für nicht negative reelle Zahlen erlaubt ist (Kurve C). Die Parabel schneidet in diesem Fall die x-Achse nicht.

Kaum zu glauben, aber wahr. Es gibt mit den komplexen Zahlen eine Erweiterung der reellen Zahlen, die auch Lösungen quadratischer Gleichungen mit negativer Diskriminante erlaubt. Dieser “imaginäre” Zahlenbereich begegnet einem aber meist erst im Rahmen des Studiums oder der Berufsausbildung. Genau betrachtet gibt es gemäß dem Fundamentalsatz der Algebra in den komplexen Zahlen zu jedem Polynom auch mindestens eine Nullstelle.

Beispiele zur pq-Formel