Satz des Euklid

Als Primzahl werden genau jene natürliche Zahlen ungleich 1 bezeichnet, die nur durch die Zahl 1 und sich selbst geteilt werden können. Diese Zahlen sind schon seit der Antike bekannt und dank Euklid von Alexandria wussten die alten Griechen auch schon etwas über die Menge dieser Primzahlen.

Satz von Euklid:

Es gibt unendlich viele Primzahlen.

Ein entsprechender Beweis gelang dem griechischen Mathematiker Euklid mehr als 300 Jahre vor Christi Geburt. Festgehalten in seinem Werk Elemente (Buch IX, Proposition 20). Der Beweis seines Satzes basierte dabei auf einem Widerspruchsbeweis. Euklid nahm an, es gäbe nur endlich viele Primzahlen, generierte daraus eine spezielle neue Zahl und verstrickte diese dann in Widersprüche.

Beweis des Satzes von Euklid:

Angenommen, die Menge aller Primzahlen {2,3,5,7,…,pn} sei endlich und n bezeichne deren Anzahl. Wir multiplizieren dann einfach einmal alle diese Primzahlen miteinander p1 * p2 * p3*… * pn = M und addieren noch 1 dazu, erhalten somit M+1. Diese neue Zahl ist echt größer als alle bekannten Primzahlen, liegt damit auch nicht in deren Menge und kann damit keine Primzahl sein.

Folglich muss es für M+1 einen Primteiler pi aus der obigen Primzahlen-Menge geben. Da pi aber konstruktionsbedingt auch M teilt, können wir daraus auch folgern, dass pi die Differenz dieser beiden Zahlen M+1 – M teilen muss. Das hieße aber, die 1 wäre durch pi teilbar, was nicht möglich ist. Widerspruch.

Folglich war die Annahme, es gäbe nur endlich viele Primzahlen, falsch. Wahr ist damit, dass es unendlich viele Primzahlen gibt. Q.e.d.

Das folgende Video von Prof. Christian Spannagel von der PH Heidelberg befasst sich sehr ausführlich mit dem Satz des Euklid. Zudem geht er während seines Beweises auch auf Einwürfe seiner Studenten ein, was eventuell weitere Fragen klären hilft.

Euklidische Primzahlen

Man bezeichnet übrigens Zahlen der Form Mn = p1 * p2 * p3*… * pn als Primorial bzw. Primfakultät und die damit verbundene Zahl Mn+1 = En als Euklidische Zahl. Die Vermutung, man könnte auf diese Weise unendlich viele Primzahlen generieren, liegt zwar nahe, ist aber bislang nicht bewiesen. Zwar sind die ersten 5 Kandidaten 3, 7, 31, 211, 2311 allesamt Primzahlen, doch die sechste Euklidische Zahl E6 = 30031 lässt sich in 59*509 zerlegen.

Weitere Sätze von Euklid

Es gibt noch zwei weitere Sätze, die ebenfalls nach Euklid benannt wurden. Diese drehen sich aber nicht um Probleme der Zahlentheorie und Primfaktoren sondern um geometrische Fragen in rechtwinkligen Dreiecken. Das wären der “Höhensatz des Euklid” und der “Kathetensatz des Euklid”. Blöderweise listet Google bei einer Suche nach “Satz des Euklid” den Höhensatz als erstes. Inklusive eines dazugehörigen Knowledge Graphen. Das ist meines Erachtens Mumpitz.

Google Suche nach Satz des Euklid
Google Suche nach Satz des Euklid

Korrekterweise müsste unser Primzahlen Satz hier ganz oben gelistet werden. So wie es Google bei der Suche nach “Satz von Euklid” umsetzt.

Google Suche nach Satz von Euklid
Google Suche nach Satz von Euklid